Trí tưởng tượng: Giá trị của sự bất toàn

Nguyễn Minh Hoàng

Trung tâm ISR, Đại học Phenikaa

28-05-2026

© rawpixel

Toán học thường bị hiểu lầm là một lĩnh vực chỉ xoay quanh những phép tính nhanh và các đáp án chính xác. Thế nhưng, bản chất của toán học không nằm ở số học. Ở tầng sâu nhất, toán học là một hoạt động kiến tạo thế giới (Bischoff, 2026).

Các nhà toán học bắt đầu từ một số ít giả định nền tảng, gọi là các tiên đề, rồi xây dựng từ đó cả một vũ trụ khái niệm. Từ những khái niệm đơn giản như tập hợp, các cấu trúc ngày càng phức tạp dần xuất hiện: số, hàm số, hình học, tô pô học và nhiều ý tưởng trừu tượng đang nằm ở tuyến đầu của nghiên cứu đương đại. Giống như một kiến trúc sư thiết kế cả một thành phố chỉ từ một vài nguyên tắc cơ bản, các nhà toán học tạo ra những thế giới được vận hành bởi các quy tắc nhất quán từ bên trong.

Đến đầu thế kỷ XX, nhiều nhà toán học tin rằng họ đã tiến rất gần đến việc hoàn thành dự án vĩ đại này. Hệ thống nền tảng thống trị lúc bấy giờ, được gọi là lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel cùng tiên đề lựa chọn (ZFC), dường như có khả năng cung cấp một cơ sở vững chắc cho toàn bộ toán học. Giấc mơ khi ấy thật đẹp đẽ: xây dựng một hệ thống vừa hoàn chỉnh, nghĩa là mọi chân lý toán học đều có thể được chứng minh, vừa nhất quán, nghĩa là không phát sinh mâu thuẫn nào (Bischoff, 2026).

Rồi một bất ngờ xuất hiện, làm tan vỡ giấc mơ ấy.

Năm 1931, nhà logic học trẻ tuổi Kurt Gödel đã chứng minh rằng giấc mơ đó là bất khả thi. Các định lý bất toàn của ông cho thấy bất kỳ hệ thống toán học nào đủ mạnh cũng tất yếu chứa những mệnh đề không thể chứng minh đúng nhưng cũng không thể chứng minh sai từ chính hệ tiên đề của nó. Đáng kinh ngạc hơn, một hệ thống như vậy cũng không thể tự chứng minh được tính nhất quán của chính mình chỉ bằng các quy tắc nội tại của nó (Gödel, 1931).

Ý nghĩa của phát hiện này vô cùng sâu sắc. Dù một thế giới toán học được xây dựng cẩn thận đến đâu, vẫn luôn tồn tại những chân lý nằm ngoài tầm với của nó.

Thoạt nhìn, điều này có vẻ như một thất bại. Trực giác con người thường khao khát sự chắc chắn. Một hệ thống hoàn chỉnh luôn mang lại cảm giác an toàn, gọn gàng và thỏa mãn hơn một hệ thống còn tồn tại những câu hỏi chưa có lời giải.

Thế nhưng, Alice ở Xứ sở Thần tiên của Lewis Carroll lại gợi mở một khả năng khác (Carroll, 1865).

Ẩn sau bút danh Lewis Carroll là Charles Dodgson, một nhà toán học tại Đại học Oxford. Ông sống trong giai đoạn toán học đang trải qua những biến đổi sâu sắc. Những khái niệm mới như số ảo hay đại số ký hiệu đang thách thức các cách hiểu truyền thống về logic và định lượng. Với nhiều nhà toán học, đây là những cánh cửa mở ra các vùng đất tri thức mới. Nhưng với Dodgson, chúng thường mang dáng vẻ của sự phi lý (Bayley, 2009).

Khác với hình học Euclid vốn gắn chặt suy luận toán học với không gian vật lý hữu hình, đại số ký hiệu cho phép các nhà toán học thao tác với những thực thể dường như tách rời khỏi trải nghiệm thực tế. Các số âm, số ảo và những ký hiệu ngày càng trừu tượng vận hành theo các quy tắc nhất quán nội tại, nhưng không phải lúc nào cũng mang ý nghĩa trực quan.

Không thể giành chiến thắng trong các cuộc tranh luận ấy chỉ bằng các bài viết học thuật, Dodgson đã đưa những băn khoăn toán học của mình vào văn chương.

Xứ sở Thần tiên thường được xem là một thế giới chứa đầy sự vô nghĩa. Tuy nhiên, phần lớn những điều tưởng như vô nghĩa ấy thực chất có thể được hiểu như một sự châm biếm đối với tính trừu tượng ngày càng gia tăng của toán học. Alice liên tục gặp phải những tình huống đi ngược lại kỳ vọng thông thường. Kích thước cơ thể cô thay đổi thất thường. Các phép tính số học vận hành kỳ quặc. Những cuộc đối thoại logic trượt dài vào nghịch lý. Các quy tắc quen thuộc dường như không còn hiệu lực (Bayley, 2009).

Từ góc nhìn của trải nghiệm thường nhật, Xứ sở Thần tiên thật phi lý.

Nhưng nó không hề hỗn loạn.

Những cư dân ở đó tuân theo một kiểu logic riêng. Sâu Bướm hoàn toàn thoải mái trước việc Alice liên tục lớn lên rồi nhỏ đi. Những cuộc trò chuyện của Thợ Làm Mũ Điên tuân theo những quy luật mà người ngoài khó lòng nhận ra. Điều có vẻ phi lý dưới một góc nhìn lại trở nên hợp lý trong một khuôn khổ khác.

Ở khía cạnh này, Xứ sở Thần tiên rất giống chính toán học.

Toán học hiện đại thường xuyên chấp nhận những khái niệm ban đầu có vẻ bất khả hoặc vô nghĩa. Số ảo, hình học phi Euclid hay không gian nhiều chiều từng bị xem là những ý tưởng kỳ quặc vì chúng phá vỡ các giả định quen thuộc về thực tại. Thế nhưng, bằng việc chấp nhận những tiên đề và quy tắc mới, các nhà toán học đã khám phá ra những thế giới nhất quán, nơi các ý tưởng kỳ lạ ấy không chỉ có ý nghĩa mà còn trở nên không thể thiếu.

Lịch sử toán học vì thế hé lộ một nghịch lý thú vị. Thất bại trong việc xây dựng một nền tảng hoàn chỉnh và nhất quán không làm chậm lại tiến bộ tri thức. Trái lại, nó mở ra cơ hội cho những hình thức tư duy hoàn toàn mới. Gödel cho thấy rằng mọi hệ thống toán học đủ mạnh đều chứa đựng những câu hỏi không thể trả lời. Nhưng thay vì chấm dứt toán học, những khoảng trống ấy lại thôi thúc các nhà toán học tìm kiếm những nền tảng khác, những góc nhìn khác và những thế giới khác.

Xứ sở Thần tiên thể hiện một quá trình tương tự. Sự bất toàn của một khuôn khổ nhận thức làm nảy sinh một khuôn khổ khác. Điều tưởng như vô nghĩa từ bên ngoài trở nên dễ hiểu khi các quy tắc nền tảng của nó được nhận ra.

Đặc điểm này không chỉ tồn tại trong toán học.

Xã hội loài người thường tìm kiếm những hệ thống hoàn hảo: những lời giải thích trọn vẹn, những chân lý phổ quát và những đáp án cuối cùng. Thế nhưng, thực tại liên tục kháng cự những tham vọng ấy. Các lý thuyết khoa học luôn mang tính tạm thời. Những câu hỏi triết học kéo dài qua nhiều thế kỷ vẫn chưa có hồi kết. Các hệ thống xã hội thường tạo ra những hệ quả ngoài dự đoán. Sự bất định chưa bao giờ hoàn toàn biến mất (Khuc & Nguyen, 2026).

Tuy nhiên, sự bất toàn ấy không nhất thiết phải bị xem là điều đáng sợ.

Nếu không có những câu hỏi chưa được trả lời, sẽ không có khám phá. Nếu không có những khoảng trống trong nhận thức, sẽ không có trí tưởng tượng. Nếu không có giới hạn của một thế giới, sẽ không có động lực để hình dung về một thế giới khác.

Theo nghĩa đó, Alice ở Xứ sở Thần tiên có thể được xem như một minh họa cho thấy ranh giới của lý tính đôi khi chính là điểm khởi đầu của trí tưởng tượng. Là một phần của sự sống, con người không tồn tại trong những hệ thống khép kín và trật tự như các thế giới toán học hay thuật toán. Trái lại, con người làm toán và sử dụng toán học như một công cụ để định hướng bản thân trong một thế giới đầy bất định (Vuong, 2025; Nguyen, 2026).

Nếu sự bất toàn của một thế giới hợp lý làm nảy sinh một thế giới tưởng như phi lý, nhưng cuối cùng lại giúp những điều vốn vô nghĩa trở nên có ý nghĩa, thì sự bất toàn ấy là hữu ích.

References

Bayley, M. (2009). The mathematical meaning of Alice in Wonderland. New Scientist, 204(2739), 38-41. https://doi.org/10.1016/S0262-4079(09)63322-4

Bischoff, M. (2026, May 26). Why some mathematical theorems will always be unprovable. https://www.scientificamerican.com/article/how-the-mathematician-goedel-proved-that-not-everything-can-be-proven/

Carroll, L. (1865). Alice's Adventures in Wonderland. Macmillan.

Khuc, V. Q., & Nguyen, M. H. (2026). Cultural Additivity Theory. Available at SSRN 6767760. https://ssrn.com/abstract=6767760

Gödel, K. (1931). Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik Und Physik, 38(1), 173-198. https://doi.org/10.1007/BF01700692

Nguyen, M.-H. (2026). Ayn Rand and Kingfisher on zero-carbon bombs and a sustainable future. Visions for Sustainability, 25(13474), 1-13. http://dx.doi.org/10.13135/2384-8677/13474

Vuong, Q. H. (2025). Wild Wise Weird. AISDL. https://books.google.com/books?id=C5dDEQAAQBAJ